Un inversor desea invertir 1.000 pesetas, de los cuales invertirá 350 en Acciones de Telefónica y 650 en Letras del Tesoro. La rentabilidad esperada de la inversión será igual 0.35 x 0.14 + 0.65 x 0.10 = 0.114

La rentabilidad esperada es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada del activo con riesgo (Telefónica) y del activo sin riesgo (Letras del Tesoro).

La varianza de la cartera del activo sin riesgo y activo con riesgo será:

Varianza : X²_{Tel Tel}+ 2 X_Tel X_{B Letra} + X²_LetraLetra  (Dos Títulos)

El activo sin riesgo por definición la rentabilidad es conocida, por lo que su varianza es cero. La covarianza del activo sin riesgo con telefónica es también cero, por lo que resulta:

Varianza de la Cartera = X²_{Tel Tel} = 0.352 x 0.202 = 0.0049

La desviación Standard = 0.35 x 0.20 = 0.07

La representación gráfica de la relación entre rentabilidad esperada y el riesgo de una cartera de un activo con riesgo y otro sin riesgo es la siguiente:

2) Solicitud de Préstamo

Se solicita un préstamo de 200 pesetas a la tasa sin riesgo (10%). La totalidad de los recursos son 1.200 pst. 

La rentabilidad esperada seria:

1.20 x 0.14 + (-0.2) x 0.10 = 14.8%

Se invierte el 120 de la inversión original solicitando el préstamo. La rentabilidad es del 14.8% que es superior al 14% que es la rentabilidad sin solicitar préstamo. Es evidente que la rentabilidad aumenta ya que la tasa sin riesgo es del 10% y la rentabilidad esperada inicialmente es del 14%.

La desviación standard de la cartera será 1.20 x 0.2 = 0.24, que es superior a la inicial ya que el préstamo aumenta la variabilidad.

Si la tasa del préstamo es superior a la rentabilidad esperada, el resultado final seria un desplazamiento de la rentabilidad (linea de puntos).

3) La Cartera Optima

En el caso anterior, se consideraba un activo con riesgo (Telefónica) y un activo sin riesgo (Letras del Tesoro). Realmente un inversionista puede combina una inversión en el activo sin riesgo con una cartera de títulos arriesgados, tal como se representa en el gráfico siguiente:

Los títulos arriesgados se representan en la cartera Q, que tiene la siguiente composición: 30% en Telefónica, 45% en Repsol y 25% en Iberdrola. 

Los inversores combinan Q con inversión en activo sin riesgo, alcanzando puntos a lo largo de la recta Rf a Q. Es la linea I. 

En el punto 1 representa una cartera de 70% en Activo sin Riesgo y 30% en acciones representadas por Q. Un inversor con 100 pesetas, invertirá 70 en Activo sin Riesgo y 30 en las acciones representadas por Q, es decir, invertirá 9 pesetas en Telefónica (30% x 30), 13.5 en Repsol (45% x 30) y 7.50 (25% x 30). En el punto 2 también se representa una cartera del activo sin riesgo y Q, con una inversión mayoritaria (65%) en Q.

En el punto 3 se ha solicitado prestamos para invertir en Q. Por ejemplo, se ha solicitado a un banco 40 pesetas para invertir 140 pesetas en Q, es decir, 42 pesetas en Telefónica (30% x 140), 63 en Repsol (45% x 140) y 35 en Bº Santander (25% x 140).

Cualquier inversor puede alcanzar cualquier punto de la linea I, pero ningún punto es el optimo.

Sea la linea II que une Rf con A. A representa una cartera de títulos arriesgados. La linea representa las carteras que se crean mediante combinaciones del activo sin riesgo y los títulos de A. Los puntos conseguidos mas alla de A se logran mediante la solicitud de prestamos a la tasa sin riesgo, para comprar mas de A que lo que compramos con nuestros fondos originales. 

La linea II es tangente al conjunto eficiente de títulos arriesgados y cualquier punto que se alcance de esta linea II tiene la misma desviación standard y mayor rentabilidad que el punto correspondiente de la linea I.

4) Linea de Mercado

A la linea II se le conoce como Linea del mercado de Capitales, y es el conjunto eficiente de todos los activos, tanto arriesgados como sin riesgo. Un inversor con alto grado de aversión al riesgo podrá seleccionar un punto entre Rf y A. Un inversor adverso al riesgo se podrá situar en A. El punto 5 corresponde a una persona que solicita dinero prestado para incrementar su inversión en A.

Con la solicitud y el otorgamiento de prestamos a la tasa sin riesgo. la cartera de activos arriesgados que un inversor tiene siempre será el punto A. No eligirá ningún otro punto del conjunto eficiente (XAY) ni tampoco el de la región variable (Interior del conjunto cerrado). Si fuera muy adverso al riesgo invertiría en A y en activo sin riesgo. Si fuera poco adverso al riesgo solicitaría un préstamo a la tasa del activo sin riesgo para invertir mas fondos en A. 

Este principio se denomina Principio de Separación, ya que el inversor toma dos decisiones por separado:

1.- Después de calcular la rentabilidad esperada y las varianzas de los títulos individuales, y las covarianzas entre los pares de títulos, el inversor calcula el conjunto eficiente de activos arriesgados, representado por la curva XAY y determina el punto A, por la tangente entre la tasa sin riesgo y el conjunto eficiente de activos arriesgados (XAY). El punto A representa la cartera de activos arriesgados que tendrá el inversionista.

2.- Posteriormente, el inversor tiene que determinar la forma de combinar el punto A, con en activo sin riesgo. Podría invertir parte en A y parte en activo sin riesgo, con lo que se situaría en algún punto de Rf a A. De modo alternativo, podría solicitar un préstamo a la tasa sin riesgo e invertir todo en la cartera A. Esto supondría un punto sobre la linea II, mas alla de A.

5) Cartera de equilibrio de Mercado

Puede imaginarse un mundo en el que todos los inversores tienen las mismas estimaciones de las rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas, ya que disponen de la misma información. Este supuesto se denomina como expectativas homogéneas.

Si esto fuese de esta forma, todos los inversores obtendrían el mismo conjunto eficiente de activos arriesgados, ya que trabajarían con la misma información. Este conjunto eficiente de activos arriesgados se representaría mediante la curva XAY. Todos los inversores consideran el punto A como la cartera de activos arriesgados que deben tener porque a todos se les aplicara la misma tasa sin riesgo.

Los inversores con alto grado de aversión al riesgo combinaran A con inversión en activo sin riesgo. Los poco adversos al riego tomaran un préstamo para invertir en la cartera A, por lo que se situaran, por ejemplo, en el punto 5.

Si todos los inversores eligen la misma cartera de activos arriesgados, se tratara de una cartera con todos los títulos del mercado, y se le llamara Cartera de Mercado.

La medida del riesgo de una cartera numerosa es conocida con el nombre de beta de la cartera, y que trasladada a un titulo resultara la beta de dicho titulo, cuya formula es la siguiente:

donde (R_M) es la varianza del mercado

Intuitivamente, la beta mide la sensibilidad de un cambio de la rentabilidad de un titulo individual al cambio de la rentabilidad de la cartera del mercado. La Beta promedio de todos los títulos de la cartera de mercado toma el valor de 1:

6) Aproximación a la Beta

Sea la siguiente situación:

Suponiendo que los cuatro estados son igualmente probables:

La rentabilidad del mercado en una economía al alza es del 20% (15- (-5)) mas alta que en una economía a la baja. Así mismo, la rentabilidad esperada del BBV en una economía al alza es del 30% (20 -(-10)) mas alta que en una economía a la baja. De esta forma BBV, tiene un coeficiente de sensibilidad de 1.5 (30%/20%).

En el siguiente gráfico se ilustran las rentabilidades del Mercado y del BBV:

La linea que une los puntos de rentabilidad esperada del mercado y del BBV, se le denomina Linea Característica del BBV. La inclinación es de 1.5 y es el coeficiente de sensibilidad, la Beta, del BBV.

El significado es que en las alzas el BBV subirá 1.5 veces mas que el mercado, y en las bajas, bajara también 1.5 veces mas que el mercado.