LaTeoría de Valoración por Arbitraje (APT) supone que las rentabilidades de lostítulos se derivan de ciertos factores industriales y del mercado. 

Lacorrelación entre un par de títulos sucede cuando estos dos títulos se venafectados por el mismo o los mismos factores.

1)Hipótesis

ElC.A.P.M. permite la correlación de los títulos, si bien no especifica losfactores subyacentes que originan la correlación.

Tanto A.P.T. como C.A.P.M.implican una relación positiva entre rentabilidad esperada y riesgo, si bien elA.P.T. los relaciona de forma mas intuitiva y considera al riesgo de un modo masgeneral que solo la varianza y Beta estandarizada de un titulo con la carteradel mercado. Por lo tanto A.P.T. es una alternativa al C.A.P.M.

Larentabilidad de un titulo consta de dos partes:

1.-La Rentabilidad Esperada o normal que es la parte de la rentabilidad que losaccionistas esperan o pronostican y que depende de toda la información quetiene el accionista sobre las acciones en concreto.

2.-La Rentabilidad incierta o arriesgada de las acciones, que se deriva de lainformación que se dará a conocer dentro de uno, dos etc.. meses, es decir:

R= + U, siendo:

R= Rentabilidad Total; = Rentabilidad Esperada y U = Parte de la rentabilidadinesperada.

Esde destacar que en U se recoge solamente la parte no prevista inicialmente de larentabilidad.

Cuandose publica una noticia sobre un dato económico resulta:

Anuncio= Parte Esperada + Sorpresa.

LaSorpresa es la que influye en la rentabilidad esperada y que no ha sidoanticipada.

2)RiesgoSistemático y no Sistemático

Elverdadero riesgo de la inversión proviene de la parte no prevista de larentabilidad, es decir de la sorpresa.

RiesgoSistemático: Cualquier riesgo que afecta a un gran numero de activos, cada unoen mayor o menor grado.

Riesgono Sistemático: Riesgo que afecta específicamente a un activo en particular oun grupo reducido de activos.

Crecimientodel PNB, tasa de inflación, se considera riesgo sistemático.

Modificacionesen la legislación bancaria solamente afecta a los bancos y se considera como nosistemático.

R= m + ; siendo m el riesgo de mercado o riesgo sistemático y el riesgoespecifico.

3)RiesgoSistemático y Beta

Elcoeficiente Beta indica la respuesta de la rentabilidad de la accion al riesgosistemático, y mide la sensibilidad de la rentabilidad de un titulo al factorde riesgo especifico (rentabilidad del mercado).

Si,por ejemplo, las acciones de una empresa se relacionan positivamente con elriesgo de la inflación, tales acciones tienen una beta de inflación positiva.Si se relación negativamente con la inflación, su beta de inflación esnegativa, y si no se correlacionan con la inflación, su beta de inflación escero.

Supongamosque se han identificado tres riesgos sistemáticos que queremos centrar y queson suficientes para describir los riesgos sistemáticos que influyen en larentabilidad de las acciones. Estos son: Inflación, PNB y tasas de interés.Todas las acciones tendrán una beta asociada con uno de estos riesgossistemáticos: Una beta de inflación, una beta del PNB y una beta de la tasa deinteres. 

La rentabilidad de las acciones se puede expresar:

R= + U = + m + = +

dondelas betas representan respectivamente, la Beta de la Inflación, del PNB y deltipo de Interés.  F es la sorpresa producida por la inflación, por el PNB y porla tasa de interés.

Seael siguiente ejemplo:

Supongamosque a principios de año se pronostica una inflación de 5%. El PNB seincrementara en un 2% y la tasa de interes permanecerá constante. Las accionesque se contemplan tienen las siguientes Betas:

I= 2, PNB = 1 y r = -1.8

Lasacciones con Beta = 1 significa que las acciones registran un aumento del 1% enla rentabilidad por cada aumento por sorpresa del 1% en el PNB. Si la Beta fuesede -2 , las acciones bajarían un 2% si el PNB descenderá un 1%.

Duranteel año han ocurrido los siguientes hechos:

Lainflación aumenta el 7%, el PNB aumenta solo el 1% y la tasa de interes bajanel 2%. Se reciben buenas noticias de la empresa, con gran éxito en suestrategia comercial y que su desarrollo no previsto contribuye con el 5% a surentabilidad, es decir,= 5%.

Resulta:

F₁= Sorpresa en la Inflación = Inflación Real - Inflación Esperada =

=7% - 5% = 2%.

Deforma similar:

F_PNB= Sorpresa del PNB = PNB real - PNB esperado = 1% -2% = -1%.

F_R= Sorpresa cambio tipo de interes = Cambio real - Cambio esperado = - 2% - 0% =-2%

Tambiénsabemos que:

m= Parte del riesgo sistemático de la rentabilidad =

=I FI + PNB F_PNB + rFr = (2 x 2%) + (1 x (-1%)) + ((-1.8) x (-2%)) = 6.6%

porlo que:

m+ = 6.6% + 5% = 11.6%.

Si,por ejemplo, la rentabilidad esperada de las acciones para el año es del 4%, larentabilidad total de los tres componentes será:

R= + m + = 4% + 6.6% + 5% = 15.6%

Esteel Modelo de Factor, y las fuentes sistemáticas de riesgo, que denominamos F,reciben el nombre de Factores.

Engeneral, un Modelo de Factor k, es un modelo en el que la rentabilidad de cadaacciones es generada por:

R= + I FI + 2 F2 + ........ K FK +

donde es especifico para una accion en particular y no se correlaciona con el termino de otras acciones.

Enla practica se utiliza un modelo de Factor único, por ejemplo, la rentabilidaddel Ibex, por lo que la rentabilidad se puede expresar:

R= + (R_IBEX -_IBEX) +

Alexistir un solo factor se da el nombre de Modelo de mercado al modelo de factor,expresandose el modelo de la siguiente forma:

R= +(R_M - _M) +

dondeR_M es la rentabilidad de la cartera de mercado. La única se conoce comocoeficiente Beta.

4)Carterasy Modelos de Factor

Seva a analizar lo que sucede a las carteras de acciones cuando cada accion sigueun modelo de un factor. Se considerara el periodo de un mes y se crearancarteras a partir de la lista de N acciones aplicando el modelo de un factorpara comprender el riesgo sistemático. La i-ésima acción de la lista tendrá,por lo tanto, rentabilidades de:

R_I= i +i F + i. (1)

Elfactor que representa el riesgo sistemático podría ser una sorpresa en el PNBo bien se podría utilizar el modelo de mercado y dejar que la diferencia entrerentabilidad del Ibex y la rentabilidad esperada sea dicho factor F. El factorse aplica a todas las acciones.

Lai representa la única forma en que el factor influye en la iesima accion.

Sii = 0 la rentabilidad de la iesima accion será:

Ri=

Esdecir, el factor, F, no afecta las rentabilidades de la iesima accion si i escero. Si i es positivo, los cambios positivos del factor incrementan lasrentabilidades de la iesima accion y los cambios negativos de éste las reducen.Si i es negativo, sus rentabilidades y el factor se mueven en direccionesopuestas.

Ella figura siguiente se ilustra la relación entre las rentabilidades excesivasde una accion Ri - y el factor F para betas diferentes, donde i > 0. Laslineas de la figura representan la ecuación (1), suponiendo que no haya habidoningún riesgo no sistemático, es decir i= 0.

Dadoque suponemos betas positivas, las lineas tienen pendiente positiva. So F = 0 ,la linea pasa por el origen.

Acontinuación se va a analizar cuando las acciones siguen un modelo de unfactor. Supongamos que X, es la proporción del titulo i en la cartera. Esdecir, si un individuo tiene una cartera de 100 pesetas quiere invertir 20 enTelefónica, decimos que X_TEL = 20%. Para N títulos resultara:

X₁+ X₂+X₃+...................X_N = 1

larentabilidad de la cartera será:

Rp=X₁R₁ + X₂R₂+X₃R₃ +..................+X_NR_N

Sustituyendocada R, en la ecuación (1) resulta:

RP= X1(

Larentabilidad de la cartera se determina mediante tres conjuntos de parámetros:

Rentabilidadesperada del titulo individual,

Labeta de cada titulo multiplicada por el factor F

Elriesgo no sistemático de cada titulo individual _i

Expresandola ecuación anterior en función de estos tres conjuntos de parámetros:

Promedioponderado de las rentabilidades esperadas:

Rp= X1

Promedioponderado de las Betas x F:

+ +

Promedioponderado de los riesgos no sistemáticos:

+

Laprimera expresión es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada de cadatitulo, los términos entre paréntesis de la segunda expresión representan elpromedio ponderado de la beta de cada titulo. La tercera expresión representael promedio ponderado de los riesgos no sistemáticos de los títulosindividuales. La incertidumbre esta recogida a través del factor F.

Es decir,mientras sabemos que el valor esperado de F es cero, se desconoce cual será suvalor durante un periodo de tiempo determinado. La incertidumbre se refleja enla tercera expresión mediante cada riesgo no sistemático, i

5)Carterasy Diversificación

Enuna cartera diversificada desaparece la tercera expresión ya que cada titulotiene su riesgo sistemático, en el que la sorpresa de una accion no serelaciona con la otra. 

Invirtiendo una cantidad reducida en cada titulo, elpromedio ponderado de los riesgos no sistemáticos se aproximara mucho a cerocuando la cartera esta compuesta por muchos títulos. La segunda expresión nodesaparece porque el factor F no resulta afectado cuando se agregan títulos ala cartera. En la primera expresión ya que no existe incertidumbre, por muchostítulos que se añadan a la cartera nunca desaparecerá.

Laclave de la desaparición de la tercera expresión es la existencia de muchosriesgos no sistemáticos. Dado que estos riesgos son independientes entre si, elefecto de la diversificación se agudiza conforme se suman activos a la cartera.La cartera es cada vez menos arriesgada y la rentabilidad mas segura.

Elriesgo sistemático, F, afecta a todos los títulos ya que se encuentra fueradel paréntesis.

6)Ejemplo:

Seanlos siguientes supuestos:

1.-Todos los títulos tienen la misma rentabilidad esperada del 10%. Esto suponeque la primera expresión deberá ser igual a 10%, ya que la ecuación es unpromedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los títulos individuales.

2.-Todos los títulos tienen una beta de 1. la suma de los términos entreparéntesis de la segunda expresión es 1, ya que dichos términos son unpromedio ponderado de las betas individuales. La expresión final será de 1XF=F

3.-Sea el inversor Sr Bolsa que decide tener una cartera igualmente ponderada. Esdecir, la proporción de cada titulo de su cartera es de 1/N.

Larentabilidad de la cartera del Sr. Bolsa será:

Rp= 10% + F +

Amedida que n tiende a infinito, la expresión correspondiente es cero. por loque la rentabilidad de la cartera del Sr. Bolsa será:

Rp= 10% + F

Lasconclusiones son las siguientes:

Elriesgo sistemático comprendido por la variación del factor F no se reduce porla diversificación. El riesgo sistemático se reduce por la diversificación,desapareciendo cuando el numero de títulos es muy grande.

7)Betay Rentabilidades Esperadas

Elriesgo en las carteras grandes y bien diversificadas es el riesgo sistemático,ya que el no sistemático esta diversificado, por lo que cuando un inversionistabien diversificado considera cambiar su tendencia de una accion determinada,puede pasar por alto el riesgo no sistemático del titulo. Si los accionistasdejan a un lado el riesgo no sistemático, solo se puede relacionar el riesgosistemático de una accion con su rentabilidad esperada.

Estasituación se pone de manifiesto es la figura siguiente:

Lospuntos P, C, A y L se encuentran sobre la linea que emana de la tasa sin riesgodel 10%. Estos puntos se pueden crear mediante las combinaciones de la tasa sinriesgo y cualquiera de los otros tres activos. Por ejemplo, ya que A tiene unabeta de 2 y P de 1, una cartera que consta de una inversión del 50% en elactivo A y 50% a tasa sin riesgo tiene la misma beta que el activo P. La tasasin riesgo es del 10% y la rentabilidad esperada del titulo A es del 35%, lo queimplica que la rentabilidad de la combinación es del 22.5% (10 + 35)/2 y esidéntica a la rentabilidad esperada del titulo P. Un inversor añadiría unacantidad reducida del titulo P porque P tiene la misma beta y la mismarentabilidad esperada que una combinación del activo del activo sin riesgo y eltitulo A. , ya que en una cartera grande el riesgo no sistemático es cero.

Lascombinaciones potenciales de los puntos que se hallan sobre la linea del mercadode títulos son infinitas. Se puede duplicar P mediante las combinaciones de latasa sin riesgo y C o L. Podemos duplicar C (A o L) solicitando prestamos a lasasin riesgo para invertir en P. De la misma forma se puede usar la cantidadinfinita de puntos de la linea del mercado de títulos que no esténclasificados.

Seal punto B. Ningún inversor tendrá ese titulo ya que su rentabilidad esperadase encuentra por debajo de la linea. El inversor preferirá P, una combinaciónde A y tasa sin riesgo o alguna ora combinación. Por lo tanto, el precio deltitulo B es demasiado alto. Su precio caerá en el mercado, forzando a surentabilidad esperada a volver a la linea en equilibrio.

Lalinea se construye uniendo la rentabilidad del activo sin riesgo, de beta = 0 yla rentabilidad esperada del activo que es , por lo que:

=R_f + (RF)

8)LaCartera de Mercado y el Factor Unico

Enel C.A.P.M. la beta de un titulo mide la sensibilidad de este a los movimientosde la cartera de mercado. En el modelo de un factor el APT, la beta de un titulomide su sensibilidad al factor. 

A continuación se va a relacionar la carteradel mercado con el factor único.

Unacartera diversificada no tiene riesgo no sistemático, ya que los riesgos de lostítulos individuales están diversificados, por lo que la cartera no contieneriesgo no sistemático. Esto supone que la cartera de mercado se correlaciona demanera perfecta con el factor único, de aquí que la cartera es una versión amayor o menor escala del factor, lo que supone que la cartera de mercado puedeconsiderarse como el factor en si.

Lacartera de mercado se sitúa sobre la linea de mercado del titulo y pordefinición su beta es igual a 1, por lo que la cartera de mercado y el factorse convierte en:

=R_F +

Dondees la rentabilidad esperada del mercado. Esta ecuación demuestra que larentabilidad esperada de cualquier activo se relaciona de manera lineal con labeta del titulo. La ecuación es idéntica a la del C.A.P.M. desarrolladaanteriormente.

9)Modelopara la Valoración por Arbitraje

ElC.A.P.M. y el A.P.T. son dos modelos alternativos del riesgo y la rentabilidad,que presentan una serie de diferencias pedagógicas y de aplicación.

DiferenciasPedagógicas

ElC.A.P.M. supone el estudio de los conjuntos eficientes y tiene gran valorintuitivo. Este argumento no se logra tan fácilmente con el A.P.T.

Sinembargo, el A.P.T. tiene una ventaja, ya que suma factores hasta que el riesgono sistemático de cualquier titulo no se correlacione con el riesgo nosistemático de todos los demás títulos. El riesgo no sistemático disminuyede forma constante conforme aumenta el numero de títulos de la cartera, perolos riesgos sistemáticos no disminuyen.

Diferenciasde Aplicación

Unaventaja del A.P.T. es que puede manejar factores múltiples en tanto que elC.A.P.M. no los tiene en consideración. Esta situación supone que un modelomultifactor se aproxima mejor a la realidad. De acuerdo con esta versiónmultifactor del A.P.T., se puede expresar la relación entre el riesgo y larentabilidad como:

=R_F + (1 -R_F)1 +(2 - R_F)2 + ...... +(K - R_F)K

1representa la beta del titulo con respecto del primer factor, 2 representa labeta del titulo en relación al segundo factor y así sucesivamente. Porejemplo, si el primer factor es el PNB, 1 es la beta del PNB del titulo. Eltermino1 es la rentabilidad esperada de un titulo (o cartera) cuya beta conrespecto al primer factor es 1 y en relación con los demás factores es cero.Dado que el mercado compensa el riesgo, (1 - F) será positivo en el casonormal. Análogamente sucederá lo mismo con 2, 3, etc.

Laecuación indica que la rentabilidad esperada del titulo se relaciona con lasbetas del factor del mismo. Cada factor representa un riesgo que no se puedediversificar. Cuanto mas alta sea la beta de un titulo con respecto a un factordeterminado, mas alto será el riesgo del titulo. En la ecuación, larentabilidad esperada es la suma de la tasa sin riesgo mas la compensación porcada tipo de riesgo que el titulo representa.

Sea,por ejemplo, los factores siguientes: 

El crecimiento de la producciónindustrial (IP), el cambio de la inflación esperada (EI), la inflación noprevista (UP), el cambio no previsto anticipado de la prima de riesgo entre lasobligaciones con riesgo y las obligaciones sin riesgo (URP), y el cambio noprevisto de la diferencia entre la rentabilidad a largo plazo de losobligaciones del estado y las mismas a corto plazo (UBR).

Larentabilidad esperada de cualquier accion s de acuerdo con un estudio efectuadoen Estados Unidos será:

s= 0.0041 + 0.0136IP - 0.0001 -0.0006_UP +0.0072_URP - -0.0052_UBR

Supongamosque una accion determinada tuviera las betas siguientes:

IP= 1.1; = 2; _UP = 3;_URP = 0.1; _UBR = 1.6. La rentabilidad mensual esperada deese titulo seria:

=0.0041 + 0.0136x1.1 - 0.0001x2 - 0.0006x3 + 0.0072x0.1 - - 0.0052 x 1.6 = 0.095.

Suponiendoque una empresa no tiene deuda y que uno de sus proyectos tiene un riesgoequivalente al de la empresa, podemos usar este valor de 0.0095 (0.95%) como latasa de descuento mensual del proyecto ( la tasa anual será: (1.0095)² - 1 =0.120

Dadoque en el lado derecho de la ecuación aparecen muchos factores, elplanteamiento del APT tiene el potencial de medir las rentabilidades esperadascon mayor precisión que el C.A.P.M.. Sin embargo no es posible determinarfácilmente cuales son los factores apropiados. Por el contrario, el uso delíndice de mercado en el planteamiento del C.A.P.M. queda implícito por el usode un índice general como el Ibex.

10)Resumeny Conclusiones

1.-El A.P.T. supone que las rentabilidades de las acciones se generan de acuerdocon los modelos de factor. Por ejemplo con tres factores representan el riesgosistemático, considerando el termino como riesgo no sistemático porque es elúnico para cada titulo individual.

2.-La rentabilidad de un titulo de acuerdo con el modelo del factor será: R = + F+

3.-A medida que se suman títulos a la cartera, los riesgos no sistemáticos de lostítulos individuales se compensan entre si. Una cartera totalmentediversificada no tiene riesgo no sistemático, pero sigue presentando riesgosistemático. El resultado indica que la diversificación puede eliminarse enparte, pero no en su totalidad, el riesgo de los títulos individuales.

4.-La rentabilidad esperada de una accion se relaciona positivamente con su riesgosistemático. En un modelo de un factor, el riesgo sistemático de un titulo estan solo la beta del C.A.P.M.. De esta forma, las implicaciones del C.A.P.M. yel A.P.T. de un factor son idénticas. Sin embargo, cada titulo tiene muchosriesgos en un modelo multifactor. 

La rentabilidad esperada de un titulo serelaciona en forma positiva con la beta del titulo con cada factor.